Lý thuyết toán tử ở nửa đầu thế kỷ thứ 20[/b]

Các chủ đề của lý thuyết toán tử và những vấn đề quan trọng bậc nhất như tập con, lý thuyết phổ được sự chú ý đặc biệt từ sau năm 1900. Sự kiện quan trọng phải kể đến đó là sự ra đời của lý thuyết các phương trình nguyên của Fredholm, được phát triển như là một hướng tiếp cận mới cho bài toán Dirichlet. Trong bài báo cáo đầu tiên của ông năm 1900 và bái báo có tính chất nền móng trên Acta Mathematica 1903 , Fredholm đã đưa ra một hướng giải tích hoàn chỉnh về một lớp phương trình nguyên quan trọng, được biết đến như là các phương trình Fredholm. Các kết quả tiếp theo phải kể đến đó là
- Định lý Fredholm ở đó mở rộng một kết quả không tầm thường trong đại số tuyến tính thành một lớp rộng các toán tử
- Các bước phân tích thận trọng về sự hội tụ của một chuỗi của các toán tử , bằng việc lấy xấp xỉ các phương trình của ông cùng với tổng Rienmann, và dẫn đến một giới hạn.
- Định nghĩa của định thức cho một lớp của các toán tử ( một bước cách tân so với định nghĩa của Hill)
- Lần đầu tiên sử dụng toán tử resolvent ( khái niệm này được Hilbert nhắc đến )
- Năm 1902, trong bài nghị biện của ông, Lebesgue đã định nghĩa dạng tích phân hiện đại và giới thiệu các không gian quan trọng nhất của các hàm, viết tắt là Lp

Cùng thời gian đó, Hilbert đặt nền móng cho lý thuyết phổ hiện đại trong một chuỗi các bài báo được truyền cảm hứng bởi kết quả của Fredholm. Từ "phổ" được Hilbert lấy từ bài báo năm 1897 của Wilhelm Wirtinger. Hilbert bắt đầu thích các kết quả của Fredholm cùng với ý tưởng về các phương trình nguyên, và ông nó rằng Friedholm có thể ra nhiều kết quả hơn nếu không gian của các hàm là L2, các hàm nguyên bình phương , và khi các toán tử nguyên là đối xứng . Đây chính là bước khám phá ra không gian Hilbert, cùng với nền móng của việc nghiên cứu các toán tử tự liên hợp. Năm 1906, Hilbert tách hướng giải tích của ông ra ngoài hướng phương trình nguyên và khám phá ra các phổ liên tục, cái đã được giới thiệu , tuy nhiên không được nhận ra trong công trình của Hill

Tư tưởng về một đại số của các toán tử được xuất hiện trong một chuỗi các bài báo được tập hợp lại thành một cuốn sách năm 1913 của Frigyes Riesz, ở đó Riesz nghiên cứu tính chất đại số của các toán tử biên trong không gian Hilbert L2. Riesz giới thiệu các ánh xạ trực giao, và các phổ nguyên, lần đầu tiên được xuất hiện trong công trình của ông. Năm 1916, Riesz sáng tạo ra lý thuyết mà ông gọi là các toán tử " liên tục hoàn toàn", nay được biến đến như là các toán tử compact. Do công trình của ông ban đầu được viết bằng tiếng Hungari, nên phải vài năm sau nó mới có bản dịch sang tiếng Đức. Định lý phổ của Riesz cho các toán tử compact là sự tóm tắt đồng thời mở rộng công trình của Fredholm.

Định nghĩa của định lý phổ tự liên hợp , tổng quát hơn là các norm, các toán tử được khám phá cùng lúc bởi Marshall Stone và John von Neumann năm 1929-1932. Mặc dầu định nghĩa của Stone được dùng nhiều trong các sách ngày nay, song các đóng góp của von Neumann mới có ý nghĩa hơn . Một trong những động lực của von Neumann chính là cơ học lượng tử, ở đó ông khám pha ra một dạng phát biểu mởi, khác biệt với 2 dạng mà Erwin Schrödinger và Werner Heisenberg đề xuất. Ở đó chứa đựng cái nhìn sâu sắc của Neumann, ông cho rằng, ngôn ngữ tự nhiên của cơ học lượng tử chính là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert. Quan điểm này đã thấm đượm trong các lý thuyết sau này của vật lý hiện đại. Von Neumann đã giới thiệu và khai triển nhiều khái niệm , nay là trọng tâm của lý thuyết toán tử như :
- Các miền của định nghĩa
- Mở rộng của các toán tử
- Một toán tử đóng
- Các toán tử liên hợp
- Các toán tử không biên
Và năm 1932, năm mà cuốn sách đầu tiên về lý thuyết toán tử do Stefan Banach viết đã được xuất bản, ông đã sử dụng một cách sâu sắc ngôn ngữ hình học trong cuốn sách này. Banach còn được biết đến với đóng góp trong
- Fixed - point theory
- Một cách hiểu mởi về bài toán đồ thị đóng, và
- Sự hội tụ yếu

Trong một chuỗi các bài báo năm 1935, viết với F.J. Murray, von Neumann viết một cách tỉ mỉ lý thuyết về các đại số toán tử, đã được giới thiệu bởi Riesz. Họ nhận ra rằng, tập hợp các toán tử ở đó giao hoán với một algebra là một công cụ quan trọng trong giải tích và phân loại, và nó sẽ có đóng góp quan trọng cho đại số thuần túy nói riêng hay đại số mở rộng nói chung.

Sau đó, năm 1941, trong một bài báo của Israil Gel'fand gửi Matematicheskii Sbornik, ông đã phát triển định lý phổ cho các cơ sở của các đại số norm hóa, đồng thời giới thiệu :
- Công thức bán kinhd phổ
- Đại số C* và đặc trưng của một đại số

Từ đó đến nay, lý thuyết phổ không ngừng phát triển, và mở rộng tầm ảnh hưởng không chỉ trong toán lý thuyết mà còn trong toán ứng dụng, cũng như trong vật lý .

Bibliography
1. A.D. Alexandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrent'ev, eds., Mathematics. Its Content, Methods, and Meaning, in three volumes. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1963 (original publication by Akademiya Nauk, 1956).

2. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, New York: Dover, 1993.

3. Jean Dieudonné, History of Functional Analysis, Amsterdam, New York, and Oxford: North-Holland, 1981

4. Felix Klein's Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, New York: Chelsea, 1967.

5. The MacTutor History of Mathematics Archive


Bài viết này của __vodka__. Nếu thấy hay thì nhấn "Cộng" cho __vodka__ nhá ^^