Các khái niệm chúng ta sẽ đi đến bắt nguồn từ những vấn đề như : tuyến tính, không gian vô hạn chiều, ma trận, và phổ ( phổ bao gồm các trị riêng, chúng ta sẽ học sau, cũng với các khái niệm liên quan ). Các khái niệm này được áp dụng vào trong

Các ma trận và đại số trừ tượng

Mô hình khai sinh của lý thuyết toán tử xuất phát từ việc nghiên cứu các ma trận . Mắc dù từ " ma trạn" chỉ được James Sylvester nhắc đến năm 1850, các phương pháp ma trận đã từng được sử dụng từ trên 2000 năm trước , cái mà chúng ta vẫn gọi như Phép tối giản Gauss, thực chất bắt nguồn từ cuốn sách 9 chương Toán nghệ thuẩt ( Mathematical Art) của nhà Hàn, Trung Quốc. Ngảy cả trước đó, năm 300 trước Công nguyên, thì các dấu vết còn lưu lại của Babylon cũng đã chứng tổ họ đã dùng đến các phương trình tuyến tính . Cũng giống như vậy, mắc dầu Carl Friedrich Gauss đã đưa ra khái niệm " định thức " ở thế kỷ thứ 19, tuy nhiên, định thức đã từng được điềm báo hàng thế kỷ trước đó, và được đồng thời Takakazu Seki Kowa ở Nhật Bản và Gottfried Leibniz ở Châu Âu sử dụng năm 1683.

Trị riêng và chéo hóa được khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Louis Cauchy trong quá trình ông tìm công thức đơn giản hơn cho các hàm bậc 2. Cauchy chứng minh định lý phổ cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận đối xứng thực đều chéo hóa. Định lý phổ được tổng quát hóa bởi John von Neumann là kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết phổ, và Cauchy được biêt đến như là người đầu tiên hệ thống hóa các định thức.

Những gì chúng ta được học ở trường về đại số tuyến tính , thường mang nặng các bước tính toán . Thực chất, các nhà toán học ngày nay có cái nhìn trực giác về cấn đề cũng với cấu trúc hơn là việc tìm hiểu các cấu trúc đó, những ý tưởng này đã chưa được biết đến mãi tận giữa thế kỷ thứ 19 và chỉ được phát triển và nhân rộng ra từ thế kỷ thứ 20. Có thể cho rằng, việc khám phá ra Quaternion của William Rowan Hamilton năm 1843 và sự ra đời của Đại số mở rộng của Hermann Grassmann một năm sau đó đã đánh dấu sự khai sinh của Đại số trừ tượng. Grassmann cũng là người đã giới thiệu về tích vô hướng. Cauchy và Jean Claude de Saint-Venant cũng là người đóng góp cho lịch sử đại số trừ tượng. Tuy nhiên, 2 sinh viên này đã phát triển đại số trừu tượng để mô hình hóa những vấn đề khác, không được nhắc đến. Đối với Hamilton, quaternion mang đến một cách diễn giải đại số tốt hơn về không gian và thời gian, trong khi, đối với Grassmann, nó mang nhiều ý nghĩa hình học.

Năm 1875 Arthur Cayley giới thiệu ý tưởng về đại số của các ma trận, và năm 1858 ông đã chỉ ra rằng, trong ngôn ngữ hiện đại, các quaternion có thể được " biểu diễn" bằng các ma trận. Mục đích của việc tìm các đối tượng thực của cấu trúc trừu tượng vẫn được tiếp tục cho tới nhay nay, trở thành một nét nổi bật của đại số trừ tượng, và chúng ta sẽ tiếp tục quan tâm đến vấn đề này trên lớp( diễn đàn) để hiểu được đại số toán tử trừ tượng có thể được biểu diễn tượng tự .

Năm 1987, Camille Jordan công bố dạng giải tích tiêu chuẩn của các ma trận, và đây là dạng đầu tiên để phân ly ( decomposition) các toán tử compact trong không gian vô hạn chiều.

Một loạt các tiên đề cho các không gian tuyến tính đã được Giuseppe Peano giới thiệu trong cuốn sách của ông năm 1888, có tiêu đề là Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Cũng từ cuốn sách này , bạn sẽ tìm thấy một định lý ở đó nói rằng, mọi toán tử xác định trên một không gian vector hữu hạn chiều là một ma trận. Peano định nghĩa tổng và tích của các toán tử toán tính một cách ngắn gọn, và cũng từ đây, lý thuyết toán tử bắt đầu hình thành song song với sự phát triển của đại số và kết hợp với các bước phát triển trong giải tích.

Toán từ trong thời kỳ đầu của Giải tích

Leibniz là người đầu tiên nghĩ đến những tính chất đại số của các toán tử trong phương pháp tính , ví dụ như bằng việc xem xét các đạo hàm bậc cao giống như các toán tử liên tục, chúng ta có thể viết chúng như Da f(x) . Theo đó, ông cố gắng tìm hiểu các trường hợp ở đó nó nhận giá trị âm hoặc là vô tỉ.

Ngày nay, nhiều ngành của giải tích không thể tách rời với lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến variational calculus, transform theory, và differential equations.
Các ngành này đều phát triển sau lý thuyết toán tử tới hàng thế kỷ, vì thế, không phải nhạc nhiên khi nhiều vấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này. Phương trình đạo hàm và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đống góp lớn của Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, và gia đình Bernoulli . Ví dụ, ngày nay chúng ta nhận thấy rằng, các kỹ thuật tính toán biến đầu tiền của một hàm là một dạng của đạo hàm trong một không gian của các hàm, và đây chính là một toán tử tuyến tính. Trong khi, những người sáng tạo trước đó của phương pháp tính nhiều biến không cho phép chúng như là các toán từ như quan điểm trừ tượng .

Cùng với sự tiếp nối của Pierre-Simon Laplace, Joseph Fourier và một số nhà toán học khác, mở ra những hướng nghiên cứu nổi trội về các dạng toán tử trong các không gian của các hàm. Các toán tử nguyên cũng đã được đựa ra bởi nhà toán học người Anh George Green.

Fourier là một nhà khoa học có tiếng ( một nhà cách mạng, một kỹ sư xây dựng, một nhà Ai cập cổ và cũng là một nhà chính trị ) , người đáng lẽ phải được biến đến nhiều hơn . Ông có đóng góp trong nhiều vấn đề cách tân , bao gồm :
- Khai triển Fourier, nay được xem là một trong những ví dụ quan trọng một của một toán tử đơn vị trong không gian Hilbert.
- Đạo hàm và các nghiệm bậc 1 của phương trình nhiệt và phương trình khuếch tán.
- Người sáng tạo ra ký hiệu hiện đại cho tích phân xác định .
- Hệ thống hóa sự khai triển của các hàm và giải tích của các hệ phương trình vô hạn.

Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các trị riêng với các phương trình đạo hàm được nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles François Sturm năm 1836 và Joseph Liouville năm 1838. Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa bởi vì không giống với trường hợp của Cauchy, không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể phát triển được trong trường hợp hữu hạn của đại số tuyến tính . Ví dụ, các toán tử vô hạn chiều có thể có phổ liên tục, và nó được sáng tỏ khi George Hill giới thiệu lý thuyết về các phương trình chu kỳ Sturm-Liouville, khi ông nghiên cứu sự ổn định của quỹ đạo mặt trăng. Trong bước phân tích của ông, Hill đã giới thiệu các định thức vô hạn.

Lý thuyết Sturm- Liouville bắt đầu với cái mà chúng ta ngày nay gọi là lý thuyết phổ của các toán tử đạo hàm tầm thường . Các nhà toán hoc cuối thế kỷ thứ 19 đã quan tâm đến các trị riêng của các phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các toán tử Laplace. Bài toán Dirichlet, mang tên nhà toán học Gustav Lejeune Dirichlet, là tìm môt nghiệm cho phương trình Laplace với các điều điện giới hạn rõ ràng.

Sự tinh tế của bài toán dẫn các nhà toán học có một cái nhìn sâu sắc và chặt chẽ hơn về sự hội tụ của các dãy và các hàm , và bản chất của cái mà chúng ta ngày nay gọi là các toán tử đạo hàm riêng. Ngày nay, chúng ta nhận ra nó như là một câu hỏi trong topo, ở đó chúng ta coi các hàm như là các điểm trong một tập hợp gọi là các không gian hàm, nhưng mãi đến nửa sau của thế kể thứ 19, khái niệm này vẫn chưa xuất hiện. Năm 1862, Grassmnn và Salvatore Pincherle là 2 người đầu tiên ký hiệu các hàm như các đại lượng ngắn gọi f, mà không phải là f(x), như các quan hệ giữa biên và miền giá trị . Ý tưởng hoàn chỉnh của một không gian hàm được giới thiệu ở thế kỷ thứ 20, thực tế, đây là trọng tâm của giải tích hàm ở thế kỷ này, và nó chịu ảnh hưởng bởi quá trình tìm lời giải cho bài toán Dirichlet , chuỗi khai triển và chuỗi Fourier, cùng với công trình của Vito Volterra và Ivar Fredholm trong phương trình nguyên.

Lịch sử toán học thế kỷ thứ 19 còn phải nhắc đến sự đóng góp của Oliver Heaviside. Heaviside là một người ngoại đạo tài năng, mặc dầu không được đào tạo một cách hệ thống, nhưng ông lại có dấu ấn trong lý thuyết điện và từ trong vật lý, và trong những năm 1880 và 1887, ông đã hệ thống hóa phương pháp tính và đưa ra ký hiệu mà ngày nay chúng ta sử dụng rộng rãi, d/dx. Mắc dù ông đã phát triển các hưởng giải phương trình đạo hàm hiệu quả, song ông đã không có mối quan hệ tốt với cộng đồng toán học khi đó. Các phương pháp của ông khi đó có thể coi là đi trước cộng đồng, người đi tiên phong trong việc phát triển các toán tử đạo hàm giả. Phương pháp của Heaviside vẫn được các nhà kỹ thuật sử dụng nhiều, như là một hướng độc lập với toán học hiện đại, và nó là một cầu nối tốt giữa các ngành khoa học với nhau.
[b]


Bài viết này của __vodka__. Nếu thấy hay thì nhấn "Cộng" cho __vodka__ nhá ^^